O que é o pequenino?

O pequenino (ou infinitesimal) é um conceito fundamental em cálculo e análise matemática. Informalmente, um pequenino é uma quantidade que é infinitamente pequena, essencialmente mais próxima de zero do que qualquer número real positivo, mas ainda diferente de zero.

• História e Desenvolvimento: A ideia de infinitesimais existe há séculos, com contribuições de Arquimedes e outros. No entanto, o uso formal de infinitesimais no cálculo foi popularizado por Leibniz e Newton.

• Cálculo Não-Padrão: Abraham Robinson rigorizou a noção de infinitesimais com o desenvolvimento do cálculo não-padrão na década de 1960. O cálculo não-padrão fornece uma base lógica sólida para trabalhar com infinitesimais, usando modelos não-padrão dos números reais que contêm números infinitesimais.

• Aplicações: Os infinitesimais são usados para definir derivadas, integrais e outros conceitos fundamentais no cálculo. Eles também aparecem em física e engenharia para modelar fenômenos que envolvem mudanças muito pequenas.

• Relação com Limites: Tradicionalmente, o cálculo moderno baseia-se na noção de limites para evitar o uso explícito de infinitesimais. No entanto, o cálculo não-padrão mostra que trabalhar diretamente com infinitesimais é logicamente consistente. A abordagem de limites busca o mesmo resultado de maneira diferente, evitando o uso de infinitamente pequenos ao considerar o comportamento de funções conforme se aproximam de um determinado valor.

• Críticas e Defesas: O uso de infinitesimais tem sido alvo de críticas ao longo da história, especialmente pela falta de rigor formal. No entanto, o cálculo não-padrão forneceu uma defesa rigorosa, mostrando que os infinitesimais podem ser definidos de forma consistente.

Em resumo, um pequenino é uma quantidade infinitamente pequena, fundamental para o desenvolvimento do cálculo e da análise matemática, e formalmente rigorizado pelo cálculo não-padrão.